21 септември 2009

Влюбените костенурки

Публикувано от Trichocephalus Икона, 09 ноември 2008 - 04:50
Една задача, известна от дълбоката древност, която ще срещнете в книгите по популярна математика, е задачата за влюбените костенурки.
Четири костенурки се намират в ъглите на квадратна стая — по една във всеки връх. Първата е влюбена във втората, втората — в третата, третата — в четвъртата, а четвъртата — в първата. (Ситуация, често срещана в естрадните песни.) В даден момент всяка започва да се движи към обекта на чувствата си с една и съща постоянна скорост. Пита се дали ще се срещнат някога и каква ще бъде траекторията на движението им.

Задачата може да се реши по различни начини (в някои от които се използват знания от т.нар. висша математика), но добра представа за движението може да се получи с един сравнително прост компютърен модел, при който се движат костенурки — модели на робот. Като даваме команди на всяка костенурка да се завърти към любимата си и да се премести една стъпка напред и повтаряме тези команди достатъчен брой пъти, получаваме следната картина (фиг. 4):



Фиг. 4

Следата, която оставя всяка костенурка, е част от известна крива — т. нар. логаритмична спирала. Ако съединим с отсечки последователните положения на костенурките, ще забележим, че те са винаги във върховете на квадрат с намаляваща дължина на страната. Страната на този квадрат клони към нула със скоростта на движението на костенурките (фиг. 5).



Фиг. 5

Логаритмичната спирала се среща в природата — такава е формата на черупката на морския охлюв наутилус (фиг. 6). Използваме я и в малко по-прозаичен (но все пак важен) контекст — когато отразяваме нарастването на даден влог с фиксирана сложна лихва (фиг. 7).


Фиг. 6

Фиг. 7
Когато правим компютърен модел на една задача, обикновено нямаме за цел да решим само нея, а цял клас сродни задачи. Тук можем лесно да меним началните условия. Например може костенурките да се обичат накръст (първата — третата, а втората — четвъртата). Или пък можем да накараме една от тях да мрази съседката си и да бяга от нея (фиг. 8). Вижда се, че в този случай тя става лидер — всички останали тръгват след нея… Можем да варираме и броя им и да съединяваме последователните им положения (фиг. 9).


Фиг. 8

Фиг. 9

Нещо повече, интересните графики, които се получават, като варираме началните условия, ни дават идея, че този модел може да служи за генериране на компютърни вариации на тема “Los Angeles” (фиг. 10) — картина на художника Виктор Вазарели, чиито картини създават изключителна илюзия за обемност. В случая разполагаме 6 костенурки във върховете на правилен шестоъгълник и свързваме с отсечки позициите на костенурките след всеки такт, като сменяме алтернативно цвета на следата (фиг. 11). Оттук нататък можем да правим вариации, като меним различни параметри в началната постановка на задачата (например можем да меним силата на привличане — фиг. 12). Накрая можем да разположим костенурките в случайно избрани точки на екрана. При достатъчно голям брой експерименти могат да се получат и реалистични фигури (фиг. 13).

Фиг. 10

фиг.11

фиг.12

фиг13

Няма коментари:

Публикуване на коментар